1.  Suppose that X is a Banach space, K is a bounded linear operator on X , g ∈ X, and that yN  ∈ X is defined, for each N ∈ N, by

yN  = g + Kg + ... + KNg.

Show that

g + KyN  = yN+1 ,    for N ∈ N.

Hence show that if the sequence yN  is convergent to some limit z, in symbols yN  → z, then

z = g + Kz.

(This is the last step of the proof on page 147 of the notes.  Hint:  use the fact that every bounded operator is continuous – see page 141 of the notes.)

2.  If A and B are two bounded linear operators on a Banach space X, the product op- erator AB is defined by (AB)? := A(B?), for ? ∈ X, i.e. AB is the composition of the mappings A and B .

(a) Show that AB is linear.

(b) Show that AB is bounded with

||AB|| ≤  ||A||  ||B||.

(The definition of a linear operator/mapping is on p. 69 of the slides, the definition of a bounded linear operator and its norm on p. 83.)

(c) Suppose that A, B, and C are bounded linear operators on X . Show that (AB)C = A(BC),

i.e. that operator products obey the associative law.  (Hint:  use that if A  : X  → X  and B : X → X then saying that A = B means that A? = B? for all ? ∈ X.)

(d) Where the bounded linear operator An  is defined for n ∈ N as in the lectures (or see PS2 Q4), show that, for m,n ∈ N, it holds that

AnAm  = An+m ,

i.e. that the product of the operators An  and Am  is An+m.  (Hint: fix m ∈ N and then prove that the above formula holds for all n ∈ N by induction (on n), using the result from (c).)

3. Define K : C[?1, 1] → C[?1, 1] by

where k > 0 is some positive constant, so that K is the integral operator on C[?1, 1] with kernel k(x,t) = eikxt.

(a) Show that (hint:  reverse the order of integration at an appropriate point, which is justified as the integrand is continuous)